شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | دنباله ها](https://dl2.my-dars.com/upload/image/06 (4)1738763976.jpg)
به هر تعداد از اعداد که آنها را پشت سر هم نوشته باشیم یک دنباله گوییم. هر عدد که در دنباله قرار دارد را یک عضو دنباله گوییم و جمله n ام یا جمله عمومی دنباله را با نماد \({a_n}\) نمایش می دهیم. نماد رایج برای نوشتن جمله عمومی یک دنباله نماد \(\{ \} \) است. مثلا می نویسیم \({a_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{5n}}\) یا معادلا عبارت \(\{ \frac{{{n^2} + 1}}{{5n}}\} \) .
مثال
پنج جمله اول دنباله های زیر را بنویسید.
الف \({a_n} = {\left( { - 1} \right)^n}{2^n}\)
\(\begin{array}{l}n = 1\\{a_1} = {\left( { - 1} \right)^1}{2^1} \to {a_1} = - 2\\n = 2\\{a_2} = {\left( { - 1} \right)^2}{2^2} \to {a_2} = 4\\n = 3\\{a_3} = {\left( { - 1} \right)^3}{2^3} \to {a_3} = - 8\\n = 4\\{a_4} = {\left( { - 1} \right)^4}{2^4} \to {a_4} = 16\\n = 5\\{a_5} = {\left( { - 1} \right)^5}{2^5} \to {a_5} = - 32\end{array}\)
ب \({b_n} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}\)
\(\begin{array}{l}n = 1\\{b_1} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^1} \to {b_1} = \frac{1}{3}\\n = 2\\{b_2} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} \to {b_2} = \frac{1}{9}\\n = 3\\{b_3} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} \to {b_3} = \frac{1}{{27}}\\n = 4\\{b_4} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^4} \to {b_4} = \frac{1}{{81}}\\n = 5\\{b_5} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^5} \to {b_5} = \frac{1}{{243}}\end{array}\)
دنباله ای که در آن هر جمله (به جز جمله اول) با اضافه شدن عددی ثابت به جمله قبل از خودش به دست می آید، یک دنباله حسابی نامیده می شود و به آن عدد ثابت، قدر نسبت دنباله می گویند. فرض کنید جمله اول دنباله a و قدر نسبت عدد d باشد در این صورت جملات ابتدایی دنباله بصورت زیر است:
\(a,a + d,a + 2d,a + 3d,...,a + \left( {n - 1} \right)d\)
به این ترتیب جمله عمومی دنباله حسابی بصورت زیر حاصل می شود:
\({a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
مثال
در یک دنباله حسابی داریم \({a_{11}} = 48\) و \({a_5} = 24\) مطلوبست محاسبه \({a_{20}}\) .
\(\begin{array}{l}{a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{a_{11}} = {a_1} + 10d \to {a_1} + 10d = 48\\{a_5} = {a_1} + 4d \to {a_1} + 4d = 28\\d = \frac{{10}}{3},{a_1} = \frac{{44}}{3}\\{a_{20}} = \frac{{44}}{3} + \left( {19} \right)\frac{{10}}{3} \to {a_{20}} = 78\end{array}\)
برای پیدا کردن مجموع n جمله اول یک دنباله حسابی را به دست آوریم از فرمول زیر استفاده می کنیم:
\({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2a + \left( {n - 1} \right)d} \right]\)
دنباله هندسی، دنباله ای است که در آن هر جمله (به جز جمله اول) از ضرب جمله قبل از خودش در عددی ثابت به دست می آید. این عدد ثابت را قدرنسبت دنباله می نامیم. جمله اول دنباله هندسی \(a \ne 0\) است. قدر نسبت را با q نشان می دهیم. در حالت های خاص اگر \(q = 0\) یا \(q = 1\) باشد، دنباله های خاصی پدید می آیند.
اگر \(q = 0\) باشد دنباله به صورت \(a,0,0,0,...\) و اگر \(q = 1\) دنباله ثابت \(a,a,a,...\) حاصل می شوند.
برای یافتن جمله عمومی یک دنباله هندسی فرض می کنیم جمله اول آن a و قدرنسبت q باشد در این صورت ترتیب جملات بصورت زیر است:
\(a,aq,a{q^2},...,a{q^{n - 1}}\)
بنابراین جمله n ام یا جمله عمومی دنباله هندسی بصورت زیر حاصل می شود:
\({a_n} = {a_1}{q^{n - 1}}\)
در یک دنباله هندسی که جمله اول آن مثبت است چنانچه \(q\rangle 1\) باشد دنباله افزایشی است و اگر \(0\langle q\langle 1\) باشد دنباله کاهشی است. اگر \(q = - 1\) باشد دنباله متناوب است و اگر \(q\langle 0\) باشد، دنباله نوسانی است.
1 اگر تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه \(k + 1\) عضوی 24 واحد کم تر از تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه \(k + 3\) عضوی باشد، آنگاه k را بیابید.
\(\begin{array}{l}{2^{k + 1}} = {2^{k + 3}} - 24 \to {2^{k + 3}} - {2^{k + 1}} = 24 \to {2^k}\left( {8 - 2} \right) = 24\\{2^k} = 4 \to k = 2\end{array}\)
2 اگر جمله چهارم یک دنباله هندسی 1 و جمله ی هفتم آن 8 باشد، آنگاه جمله عمومی این دنباله را بیابید.
\(\begin{array}{l}{a_n} = {a_1}{q^{n - 1}}\\{a_1}{q^3} = 1\\{a_1}{q^6} = 8\\ \to \frac{{{a_1}{q^6}}}{{{a_1}{q^3}}} = \frac{8}{1} \to {q^3} = 8 \to q = 2\\{a_1}{q^3} = 1 \to {a_1}{2^3} = 1 \to {a_1} = \frac{1}{8}\\{a_n} = {a_1}{q^{n - 1}} = \left( {\frac{1}{8}} \right)\left( {{2^{n - 1}}} \right) = \frac{1}{{{2^3}}} \times {2^{n - 1}} \to {a_n} = {2^{n - 4}}\end{array}\)
3 اگر در یک دنباله ی حسابی جمله ی چهارم برابر \(-8\) باشد، مجموع جملات اول، سوم، پنجم و هفتم چیست؟
\(\begin{array}{l}{a_1} + 3d = - 8\\{a_1} + {a_1} + 2d + {a_1} + 4d + {a_1} + 6d = 4{a_1} + 12d = 4\left( {{a_1} + 3d} \right) = 4 \times \left( { - 8} \right) = - 32\end{array}\)
تهیه کننده: فرهاد صمدی
1736019749.png)
